凹凸貼圖是微積分的應(yīng)用!? 做特效到底學(xué)不學(xué)數(shù)學(xué)

文字整理：AB特效旗艦
有些藝術(shù)生和文科生不擅長答數(shù)學(xué)題，也會自然的與數(shù)學(xué)劃清界限。但如果你已經(jīng)一只腳（或全身心）踏進(jìn)電影特效、動(dòng)畫、廣告制作、媒體藝術(shù)這一行（都可以歸類到電腦圖形圖像學(xué)），江湖上蔓延著各種各樣與數(shù)學(xué)有關(guān)的傳說。

簡單八一八作者。除了計(jì)算機(jī)研究，Greg也是個(gè)樂迷。中學(xué)就開始玩樂隊(duì)。大學(xué)時(shí)是“工業(yè)小腰”的吉他手，樂隊(duì)另一位成員是后來得過兩屆奧斯卡獎(jiǎng)的R&H特效公司聯(lián)合創(chuàng)始人Keith Goldfarb(此人是貝斯手)。在圖形圖像學(xué)領(lǐng)域，Greg的標(biāo)簽是“斯坦福小兔”。這只完成于1994年的數(shù)字兔寶是為了測試而誕生的，后來免費(fèi)放在網(wǎng)上供同行使用，有各種格式供下載。
雖然本文更適合做電腦圖形圖像學(xué)研究者參考，狹隘的來講制作人員會用工具實(shí)現(xiàn)創(chuàng)意就好，但兼*則明，數(shù)學(xué)與藝術(shù)從來不是對頭。
文章的中文版摘自vfxinfo
數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用
“學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)需要多少的數(shù)學(xué)？”這是初學(xué)者最經(jīng)常問的問題。狹義的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)指的是傳統(tǒng)的三維建模，繪制，動(dòng)畫等，而廣義的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)還包括計(jì)算機(jī)圖像處理，視頻處理，計(jì)算機(jī)視覺和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。
這取決于你想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域鉆研多深：

• 如果僅僅使用周圍唾手可得的圖形軟件，如Photoshop, 3D Studio Max, Maya, AutoCAD等，你不需要知道多少數(shù)學(xué)知識；通過掌握簡單的概念和閱讀使用教程你就能使用這些軟件的基本功能；但是如果你想精通這些軟件，你還是需要學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一些入門知識的；
  
• 如果想學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的入門知識，你至少需要掌握代數(shù)，三角學(xué)和線性代數(shù)的一些基本知識；這也是要成為圖形軟件高手所必需掌握的；
  
• 如果想成為一名計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究工作者，那么對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將是“活到老，學(xué)到老”。重要的是，從以前看似枯燥的數(shù)學(xué)到看到它的實(shí)際應(yīng)用的過程中，你會更容易享受數(shù)學(xué)的美妙。在你不斷進(jìn)行計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究的過程 中，你會感覺到你的數(shù)學(xué)知識越來越不夠用，從而真正理解“數(shù)學(xué)不是沒有用，而是不夠用！”。

如果你并不特別喜歡數(shù)學(xué)，是否仍有在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作的機(jī)會？是的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的確有一些方面不需要考慮太多的數(shù)學(xué)問題。你不應(yīng)該因?yàn)閿?shù)學(xué)成績不好而放棄它，如果你對計(jì)算機(jī)圖形學(xué)具有強(qiáng)烈興趣和好奇心的話，而且你還特別喜歡和擅長計(jì)算機(jī)編程的話。不過，如果學(xué)習(xí)了更多的數(shù)學(xué)知識，那么你將在研究課題上有更多的選擇余地。如果你要做很好的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究工作，則建議你還是多學(xué)習(xí)些數(shù)學(xué)。
對于在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中哪些數(shù)學(xué)才是重要的？這個(gè)問題不是明確的。這領(lǐng)域里不同的方面要求掌握不同的數(shù)學(xué)知識，也許興趣將會決定了你的方向。那些基本的數(shù)學(xué)知識和分析能力是最重要的，而其他的數(shù)學(xué)則是根據(jù)你所從事的方向相關(guān)。
下面將介紹我們認(rèn)為對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)有用的數(shù)學(xué)。別以為想成為一名計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究者就必須精通各門數(shù)學(xué)！在大學(xué)里，你所學(xué)的那些數(shù)學(xué)看起來都很抽象，枯燥無味，這是因?yàn)槟悴⒉恢�道它們的用處，甚至連講課的老師也不知道，而你們的目的只是記住那些定理和公式，考個(gè)好分?jǐn)?shù)。與大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不一樣的是，你在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中會感受到數(shù)學(xué)的用處和美妙，這時(shí)你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的將更加明確，興趣將更加濃厚，學(xué)習(xí)方法將更加有效。因?yàn)槟闶窃谑褂脭?shù)學(xué)的過程中在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)！想想看你是如何學(xué)會中文說話的？為了對用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的數(shù)學(xué)有一個(gè)全面的看法，這里特地列出了很多方面。注意，不是這里提到的每個(gè)方面你都必須熟悉，許多研究工作者從不需要考慮下面提到的某些數(shù)學(xué)知識，成功的研究者總是將某一方面的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)工具用到極致！
最后，雖然讀了這篇文章后，你應(yīng)該會對數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用有所了解，不過這也是一家之言。也許你應(yīng)該閱讀更多的此類文章，或者至少從其他從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)工作的人那里了解不同的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。
初等代數(shù)和三角學(xué)
對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的初學(xué)者來說，高中的代數(shù)和三角學(xué)可能是最重要的數(shù)學(xué)。日復(fù)一日，我從簡單的方程解出一個(gè)或更多的根。我時(shí)常還要解決類似求一些幾何圖形邊長的簡單三角學(xué)問題。代數(shù)和三角學(xué)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的最基礎(chǔ)的知識。
那么高中的幾何學(xué)怎么樣呢？可能讓人驚訝，不過在多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，高中的幾何學(xué)并不經(jīng)常被用到。原因是許多學(xué)校教的幾何學(xué)實(shí)際上是如何建立數(shù)學(xué)證明的課程。雖然證明題對提高智力顯然是有效的，但對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來說，那些與幾何課有關(guān)的定理和證明并不常被用到。如果你畢業(yè)于數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域（包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)），就會發(fā)現(xiàn)雖然你在證明定理，不過這對開始學(xué)習(xí)圖形學(xué)不是必要的。
如果精通代數(shù)和三角學(xué)，就可以開始讀一本計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的入門書了。下一個(gè)重要的用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，多數(shù)此類書籍至少包含了一個(gè)對線性代數(shù)的簡要介紹。

線性代數(shù)
線性代數(shù)的思想貫穿于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。事實(shí)上，只要牽涉到幾何數(shù)值表示法，就常常抽象出例如x,y,z坐標(biāo)之類的數(shù)值，我們稱之為矢量。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)自始至終離不開矢量和矩陣。用矢量和矩陣來描述旋轉(zhuǎn)，平移，或者縮放是再好不過了。高中和大學(xué)都有線性代數(shù)的課程。只要想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作，就應(yīng)該打下堅(jiān)實(shí)的線性代數(shù)基礎(chǔ)。我剛才提到，許多圖形學(xué)的書都有關(guān)于線性代數(shù)的簡要介紹——足夠教給你圖形學(xué)的第一門課。
數(shù)學(xué)分析（微積分學(xué)）
微積分學(xué)是高級計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要成分。如果打算學(xué)習(xí)研究圖形學(xué)，我強(qiáng)烈建議你應(yīng)該對微積分學(xué)有初步認(rèn)識。理由不僅僅是微積分學(xué)是一種很有用的工具，還有許多研究者用微積分學(xué)的術(shù)語來描述他們的問題和解決辦法。另外，在許多重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分學(xué)被作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的前提。學(xué)習(xí)了基本代數(shù)之后，微積分學(xué)又是一種能為你打開多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門的課程。
微分幾何
微分幾何學(xué)研究描述和控制光滑曲線，曲面的方程。如果你要計(jì)算出經(jīng)過某個(gè)遠(yuǎn)離曲面的點(diǎn)并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就會用到微分幾何學(xué)。讓一輛汽車以特定速度在曲線上行駛也牽涉到微分幾何學(xué)。有一種通用的繪制光滑曲面的圖形學(xué)技術(shù)，叫做“凹凸帖圖”，這個(gè)技術(shù)用到了微分幾何學(xué)。另外，要研究曲面的一些幾何性質(zhì)，如曲率、可展性、測地性質(zhì)等，需要較多的微分幾何知識。如果要著手于用曲線和曲面來創(chuàng)造形體（在圖形學(xué)里稱之為建模），你至少應(yīng)該學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)。
數(shù)值方法（計(jì)算方法）
幾乎任何時(shí)候，我們在計(jì)算機(jī)里用近似值代替精確值來表示和操作數(shù)值，所以計(jì)算過程總是會有誤差。而且對于給定的數(shù)值問題，常常有多種解決的方法，一些方**更塊，更精確或者對內(nèi)存的需求更少。數(shù)值方法研究的對象包括“計(jì)算方法”和“科學(xué)計(jì)算”等等。這是一個(gè)很廣闊的領(lǐng)域，而且我將提及的其他幾門數(shù)學(xué) 其實(shí)是數(shù)值方法的一些分支。這些分支包括抽樣法理論，矩陣方程組，數(shù)值微分方程組和最優(yōu)化。

抽樣法理論和信號處理
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里我們反復(fù)使用儲存在正規(guī)二維數(shù)組里的數(shù)字集合來表示一些對象，例如圖片和曲面。這時(shí)，我們就要用抽樣法來表示這些對象。如果要控制這些對象的品質(zhì)，抽樣法理論就變得尤為重要。抽樣法應(yīng)用于圖形學(xué)的常見例子是當(dāng)物體被繪制在屏幕上時(shí)，它的輪廓呈現(xiàn)鋸齒狀的邊緣。這鋸齒狀的邊緣（被認(rèn)為 是“混淆”現(xiàn)象）是非常讓人分散注意力的，用抽樣法中著名的技術(shù)例如回旋，傅立葉變換，空間和頻率的函數(shù)表示就能把這個(gè)現(xiàn)象減少到最小。這些思想在圖像和 音頻處理領(lǐng)域是同樣重要的。

矩陣計(jì)算
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多問題要用到矩陣方程組的數(shù)值解法。一些涉及矩陣的問題包括：找出最好的位置與方向以使對象們互相匹配（最小二乘法），創(chuàng)建一個(gè)覆 蓋所給點(diǎn)集的曲面，并使皺折程度最�。ū“鍢訔l算法），還有材質(zhì)模擬，例如水和衣服等。在圖形學(xué)里矩陣表述相當(dāng)流行，因此在用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)中我對矩陣方程組的評價(jià)是很高的。

物理學(xué)（物理模擬）
物理學(xué)顯然不是數(shù)學(xué)的分支，它是自成一家的學(xué)科。但是在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的某些領(lǐng)域，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是緊密聯(lián)系的。在圖形學(xué)里，牽涉物理學(xué)的問題包括光與物體的表面是怎樣互相影響的，人與動(dòng)物的移動(dòng)方式，水與空氣的流動(dòng)。為了模擬這些自然現(xiàn)象，物理學(xué)的知識是必不可少的。這和解微分方程緊密聯(lián)系，我將會在下一節(jié)提到微分方程。
微分方程的數(shù)值解法（有限元方法）
我相信對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來說，解微分方程的技巧是非常重要的。像我們剛才討論的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)致力于模擬源于真實(shí)世界的物理系統(tǒng)。波浪是怎樣在水里形成的，動(dòng)物是怎樣在地面上行走的，這就是兩個(gè)模擬物理系統(tǒng)的例子。模擬物理系統(tǒng)的問題經(jīng)常就是怎樣解微分方程的數(shù)值解。請注意，微分方程的數(shù)值解法與微分方程的符號解法是有很大差異的。符號解法求出沒有誤差的解，而且時(shí)常只用于一些非常簡單的方程。有時(shí)大學(xué)課程里的“微分方程”只教符號解法，不過這并不會對多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的問題有幫助。
在對物理系統(tǒng)的模擬中，我們把世界細(xì)分為許多表示成矢量的小元素。然后這些元素之間的關(guān)系就可以用矩陣來描述。雖然要處理的矩陣方程組往往沒有很精 確的解，但是取而代之的是執(zhí)行了一系列的計(jì)算，這些計(jì)算產(chǎn)生一個(gè)表示成數(shù)列的近似解。這就是微分方程的數(shù)值解法。請注意，矩陣方程的解法與微分方程數(shù)值解法的關(guān)系是很密切的。
最優(yōu)化
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，我們常常為了期望的目標(biāo)尋求一種合適的描述對象或者對象集的方法。例如安排燈的位置使得房間的照明看起來有種特殊的“感覺”，動(dòng) 畫里的人物要怎樣活動(dòng)四肢才能實(shí)現(xiàn)一個(gè)特殊的動(dòng)作，怎樣排版才不會使頁面混亂。以上這些例子可以歸結(jié)為最優(yōu)化問題。十年前的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)幾乎沒有最優(yōu)化技 術(shù)的文獻(xiàn)，不過最近這個(gè)領(lǐng)域越來越重視最優(yōu)化理論。我認(rèn)為在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，最優(yōu)化的重要性將會日益增加。
概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多領(lǐng)域都要用到概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)。當(dāng)研究者涉足人類學(xué)科時(shí)，他們當(dāng)然需要統(tǒng)計(jì)學(xué)來分析數(shù)據(jù)。圖形學(xué)相關(guān)領(lǐng)域涉及人類學(xué)科，例如虛擬現(xiàn) 實(shí)和人機(jī)交互(HCI)。另外，許多用計(jì)算機(jī)描繪真實(shí)世界的問題牽涉到各種未知事件的概率。兩個(gè)例子：一棵成長期的樹,它的樹枝分杈的概率；虛擬的動(dòng)物如 何決定它的行走路線。最后，一些解高難度方程組的技巧用了隨機(jī)數(shù)來估計(jì)方程組的解。重要的例子：蒙特卡羅方法經(jīng)常用于光如何傳播的問題。以上僅是一部分在 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里使用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。
另外，在機(jī)器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中，需要非常多和深入的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識。
拓?fù)鋵W(xué)
用一句話來形容拓?fù)鋵W(xué)，它研究油炸圈餅與咖啡杯為什么在本質(zhì)上是相同的。**是他們都是只有一個(gè)洞的曲面。對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來說，拓?fù)鋵W(xué)的形式（符號表示法）是表達(dá)思想的簡便方法，常用于分析一些曲面的性質(zhì)，在形狀分析、形狀匹配和搜索中得到應(yīng)用。
黎曼幾何
黎曼幾何是研究流形曲面上的微積分與微分幾何。不同與三維歐氏空間，它研究的曲面是在流形曲面上，其中用到不同的度量。這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識有點(diǎn)抽象，但是同樣有效地被用到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中。如共形幾何理論就被發(fā)展起來在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。
抽象代數(shù)
抽象代數(shù)就是研究群論，環(huán)論和域的代數(shù)學(xué)。相對于線性代數(shù)，內(nèi)容也比較抽象。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)上也時(shí)有用到。
計(jì)算幾何
計(jì)算幾何學(xué)研究如何用計(jì)算機(jī)高效地表示與操作幾何體。典型問題如，碰撞檢測，把多邊形分解為三角形，找出最靠近某個(gè)位置的點(diǎn)，這個(gè)學(xué)科包括了運(yùn)算法則，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)。圖形學(xué)的研究者，只要涉足創(chuàng)建形體（建模），就要大量用到計(jì)算幾何學(xué)。


其他幾何學(xué)
一些其他的幾何學(xué)，如《仿射幾何》、《射影幾何》在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的某些問題上用得比較多，對工程具有較大的促進(jìn)應(yīng)用。
總結(jié)：數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論
對于圖形學(xué)來說，以上提到的許多數(shù)學(xué)學(xué)科都有個(gè)共同點(diǎn)：比起這些數(shù)學(xué)的理論價(jià)值，我們更傾向于發(fā)掘它們的應(yīng)用價(jià)值。不要驚訝。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多問題和物理學(xué)者與工程師們研究的問題是緊密聯(lián)系的，并且物理學(xué)者與工程師們使用的數(shù)學(xué)工具正是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究者們使用的。
多數(shù)研究純數(shù)學(xué)理論的學(xué)科從不被 用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。不過這不是絕對的。請注意這些特例：分子生物學(xué)正利用節(jié)理論來研究DNA分子動(dòng)力學(xué)，亞原子物理學(xué)用到了抽象群論。也許有一天，純數(shù)學(xué)理論也能推動(dòng)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，誰知道呢？
事實(shí)上，文章中所提到一些數(shù)學(xué)分支，按照我國（美國）的教育體制，在數(shù)學(xué)系本科的學(xué)生（或者碩士研究生階段的理工科學(xué)生）基本都能接觸到。但是大學(xué)所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)比較偏重于證明以構(gòu)建完備的數(shù)學(xué)理論框架，而不太注重實(shí)際的使用，現(xiàn)在的大學(xué)教師授課的方式也是這樣。
我認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好的方式就是使用它，使用它越多，你就覺得它越有用，越有趣，學(xué)得就越好，也越快，越扎實(shí)。當(dāng)然，很少有人能精通全部的知識，對于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，應(yīng)當(dāng)采取掌握較為寬廣的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，在需要的時(shí)候，對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識再進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)和挖掘；不要因?yàn)樽陨頂?shù)學(xué)知識的匱乏而沮喪，更不能因此而敵視數(shù)學(xué)，保持對計(jì)算機(jī)圖形學(xué)強(qiáng)烈的興趣和樂觀上進(jìn)的學(xué)習(xí)態(tài)度是學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的關(guān)鍵。
還有一點(diǎn)需要指出的是，在學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的過程中，你會發(fā)現(xiàn)各個(gè)方面的數(shù)學(xué)知識都會被用到，因此你掌握的數(shù)學(xué)知識會比較全面，也知道如何在實(shí)際中應(yīng)用。這可能是應(yīng)用數(shù)學(xué)在所有學(xué)科得到最好的體現(xiàn)。相反，一些做純理論的數(shù)學(xué)工作者，掌握的數(shù)學(xué)知識就是他們所研究的一塊，而對其他的數(shù)學(xué)知識掌握得就不 夠好，他們做得比較深入。當(dāng)然，做應(yīng)用數(shù)學(xué)和理論數(shù)學(xué)都有值得敬仰的地方，一個(gè)側(cè)重在實(shí)際應(yīng)用，而另一個(gè)側(cè)重在理論深度，但要做好都不是很容易。數(shù)學(xué)說到底還是要學(xué)老用的。相對來講，做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)能看到學(xué)到的數(shù)學(xué)在實(shí)際中所用了，“所用即所學(xué)”。試想一下，當(dāng)你能看到自己做的美妙的東西被別人看到且被敬仰的時(shí)候，你的成就感一定會很大！
最后說一點(diǎn)的就是，學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的研究，除了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)外，還需要較強(qiáng)的計(jì)算機(jī)編程能力，你務(wù)必要掌握和熟練一門編程語言，一般建議C/C++，因?yàn)槟阋獙?shí)現(xiàn)出你的想法，你必須編程去實(shí)現(xiàn)出來，做出漂亮的結(jié)果。編程也是很有趣的，只要你有興趣，提高是非�？斓�！當(dāng)然，這里我不闡述如何提高編程的能力和水平的方法。“數(shù)學(xué)”和“編程”，兩手都要抓，兩手都要硬！提醒大家一點(diǎn)的是，如果你對編程興趣不大，或者就不愿編程，那你就不適合選擇計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，可能更適合選擇其他方向，比如統(tǒng)計(jì)學(xué)或理論數(shù)學(xué)。

雖然不明白你在說什么，但好像很厲害的樣子。